设随机变量X在区间（0，1）上服从均匀分布，在X=x（0＜x＜1）的条件下，随机变量Y在区间（0，x）上服从均匀分布，求

解题思路：（Ⅰ）首先根据均匀分布的定义将X的概率密度写出来，其次写出在X=x（0＜x＜1）的条件下，随机变量Y的概率密度，然后根据f（x，y）=f_Y|X（y|x）•f_X（x）写出随机变量X和Y的联合概率密度；
（Ⅱ）根据边缘密度的计算公式，利用（I）求出的联合概率密度，即可求出Y的概率密度；
（Ⅲ）利用（I）求出的X和Y的联合概率密度，将概率P{X+Y＞1}转化成二重积分

∫∫

X+Y＞1

f(x，y)dxdy．

（1）
∵X在区间（0，1）上服从均匀分布，
∴X的概率密度函数为：fX(x)＝

1，0＜x＜1
0，其它，
又在X=x（0＜x＜1）的条件下，Y在区间（0，x）上服从均匀分布，
从而，随机变量Y的条件概率密度为：
f_Y|X（y|x）=
f(x，y)
fX(x)＝


1
x，0＜y＜x＜1
0，其它，
则随机变量X和Y的联合概率密度为：
f(x，y)＝


1
x，0＜y＜x＜1
0，其它．

（Ⅱ）
①当0＜y＜1时，
Y的概率密度为：
fY(y)＝
∫+∞−∞f(x，y)dx＝
∫1y
1
xdx＝−lny，
②当y≤0或y≥1时，
由于f（x，y）=0，则：f_Y（y）=0，
从而，Y的概率密度为：
fY

点评：
本题考点： 二维连续型随机变量的概率密度．

考点点评： 此题考查均匀分布的概率密度和条件概率密度以及二维联合概率密度的定义，以及利用联合概率密度求边缘概率密度和概率，综合性比较强，但都是基础知识点．