谁的眼泪 幼苗
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(1)函数f(x)的定义域为(1,+∞),
∵f′(x)=2[
1
x−1−(x−1)]=−
2x(x−2)
x−1,
∵x>1,则使f'(x)>0的x的取值范围为(1,2),
故函数f(x)的单调递增区间为(1,2).
(2)方法1:∵f(x)=2ln(x-1)-(x-1)2,
∴f(x)+x2-3x-a=0⇔x+a+1-2ln(x-1)=0.
令g(x)=x+a+1-2ln(x-1),
∵g'(x)=1-[2/x−1=
x−3
x−1],且x>1,
由g'(x)>0得x>3,g'(x)<0得1<x<3.
∴g(x)在区间[2,3]内单调递减,在区间[3,4]内单调递增,
故f(x)+x2-3x-a=0在区间[2,4]内恰有两个相异实根⇔
g(2)≥0
g(3)<0
g(4)≥0.
即
a+3≥0
a+4−2ln2<0
a+5−2ln3≥0.解得:2ln3-5≤a<2ln2-4.
综上所述,a的取值范围是[2ln3-5,2ln2-4).
方法2:∵f(x)=2ln(x-1)-(x-1)2,
∴f(x)+x2-3x-a=0⇔x+a+1-2ln(x-1)=0.
即a=2ln(x-1)-x-1,令h(x)=2ln(x-1)-x-1,
∵h'(x)=[2/x−1−1=
3−x
x−1],且x>1,
由h'(x)>0得1<x<3,h'(x)<0得x>3.
∴h(x)在区间[2,3]内单调递增,在区间[3,4]内单调递减.
∵h(2)=-3,h(3)=2ln2-4,h(4)=2ln3-5,又h(2)<h(4),
故f(x)+x2-3x-a=0在区间[2,4]内恰有两个相异实根⇔h(4)≤a<h(3).
即2ln3-5≤a<2ln2-4.
综上所述,a的取值范围是[2ln3-5,2ln2-4).
点评:
本题考点: 函数与方程的综合运用;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本题考查导数的工具作用,考查学生利用导数研究函数的单调性的知识.考查学生对方程、函数、不等式的综合问题的转化与化归思想,将方程的根的问题转化为函数的图象交点问题,属于综合题型.
1年前
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