已知函数f（x）=xlnx．（I）若函数g（x）=f（x）+ax在区间[e 2 ，+∞]上为增函数，求a的取值范围；（I

（I）由题意得，g′（x）=f′（x）+a=lnx+a+1，
∵函数g（x）在区间[e ² ，+∞）上为增函数，
∴当x∈[e ² ，+∞）时，g′（x）≥0，即lnx+a+1≥0在[e ² ，+∞）上恒成立，
∴a≥-1-lnx，
又当x∈[e ² ，+∞）时，lnx∈[2，+∞），
∴-1-lnx∈（-∞，-3]，
∴a≥-3．
（II）因为2f（x）≥-x ² +mx-3，即mx≤2x•lnx+3+x ² ，
又x＞0，所以m≤
2x•lnx+ x 2 +3
x ，令h（x）=
2x•lnx+ x 2 +3
x ，
h′（x）=
(2xlnx+ x 2 +3)x′-(2xlnx+ x 2 +3)•x′
x 2 =
2x+ x 2 -3
x 2 ，
令h′（x）=0解得：x=1或x=-3（舍），
当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，函数h（x）在（0，1）上单调递减，
当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，
所以h（x） _min =h（1）=4，
因为对任意 x∈(0，+∞)，f(x)≥
- x 2 +mx-3
2 恒成立，
所以m≤h（x） _min =4，即m的最大值为4．