如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，点P在AD上且AP=1．将一块三角尺顶点放在点P处，三角尺的两直角边分别交A

解题思路：（1）根据矩形的性质得∠A=∠D=90°，则可根据等角的余角相等得∠AEP=∠DPC，于是根据三角形相似的判定得到Rt△APE∽Rt△DCP，利用相似比可得到[AP/AE]的值；
（2）①作FH⊥AD于H，如图1，与（1）的证明方法一样可得Rt△APE∽Rt△HFP，利用相似比得到AE=[1/2]（3-m），然后根据三角形面积公式和四边形BEPF的面积=S_矩形ABFH-S_△AEP-S_△PHF计算得到四边形BEPF的面积=-[3/4]m+[17/4]，由于当点E和点A重合时，PF⊥BC，FC最大，此时CF=3，则m的取值范围为0≤m≤3；
②分类讨论：当∠PGD=90°时，易得PE∥BD，根据三角形相似的判定方法得△AEP∽△ABD，利用相似比得

1 2 (3−m)

2

=[1/4]，解得m=2；当∠DPG=90°时，则PF⊥BC，则FC=3，此时m=3．

（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AED+∠APE=90°，
∵∠EPC=90°，
∴∠APE+∠DPC=90°，
∴∠AEP=∠DPC，
∴Rt△APE∽Rt△DCP，
∴[AP/DC]=[AE/PD]，
∴[AP/AE]=[DC/PD]=[2/4−1]=[2/3]；
故答案为[2/3]；
（2）①作FH⊥AD于H，如图1，
与（1）一样可证明Rt△APE∽Rt△HFP，
∴[AP/HF]=[AE/PH]，即[1/2]=[AE/4−1−m]，
∴AE=[1/2]（3-m），
∴四边形BEPF的面积=S_矩形ABFH-S_△AEP-S_△PHF
=2（4-m）-[1/2]×1×[1/2]（3-m）-[1/2]×2×（3-m）
=-[3/4]m+[17/4]，
∵当点E和点A重合时，PF⊥BC，
∴此时CF=3，
∴m的取值范围为0≤m≤3；
②当∠PGD=90°时，
∵∠EPF=∠PGD，
∴PE∥BD，
∴△AEP∽△ABD，
∴[AE/AB]=[AP/AD]，即

1
2(3−m)
2=[1/4]，
∴m=2；
当∠DPG=90°时，则PF⊥BC，则FC=3，此时m=3，
∴当△PDG是直角三角形时，m的值为2或3．

点评：
本题考点： 四边形综合题．

考点点评： 本题考查了四边形的综合题：熟练掌握矩形的性质；会运用相似比求线段的长；能利用面积的和差求不规则图形的面积．