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(1)∵x∈(0,5)时,都有x≤f(x)≤2|x﹣1|+1恒成立,
∴1≤f(1)≤2|1﹣1|+1=1,
∴f(1)=1;
(2)∵f(﹣1+x)=f(﹣1﹣x),
∴f(x)=ax
2 +bx+c(a,b,c∈R)的对称轴为x=﹣1,
∴﹣
=﹣1,b=2a.
∵当x∈R时,函数的最小值为0,
∴a>0,f(x)=ax
2 +bx+c(a,b,c∈R)的对称轴为x=﹣1,
∴f(x)
min =f(﹣1)=0,
∴a=c. ∴f(x)=ax
2 +2ax+a.
又f(1)=1,
∴a=c=
,b=
.
∴f(x)=
x
2 +
x+
=
(x+1)
2 .
(3)∵当x∈[1,m]时,就有f(x+t)≤x成立,
∴f(1+t)≤1,即 (1+t+1)
2 ≤1,解得:﹣4≤t≤0.
而y=f(x+t)=f[x﹣(﹣t)]是函数y=f(x)向右平移(﹣t)个单位得到的,
显然,f(x)向右平移的越多,直线y=x与二次曲线y=f(x+t)的右交点的横坐标越大,
∴当t=﹣4,﹣t=4时直线y=x与二次曲线y=f(x+t)的右交点的横坐标最大.
∴ (m+1﹣4)
2 ≤m,
∴1≤m≤9,
∴m
max =9.
1年前
9