若a,b,c,d是正整数,且a^2+b^2+c^2=d^2,则ab的奇偶性是：

abcd的奇偶性可能：
奇奇奇奇
奇奇偶偶
奇偶偶奇
偶偶偶偶
(前三个可以轮换)
第一种情况
奇数的平方(2k+1)^2=4k^2+4k+1,可以表示为4x+1的形式
偶数的平方可以表示为4x
所以等式左边三个平方数可以表示成4n+3的形式,右边是4m+1的形式,矛盾.
第二种情况
左边是4n+2,右边是4m.矛盾.
第四种情况
由于都是偶数,可以提取公因子2,并转化为其他三种,所以不需考虑.
那么现在只剩下一种情况,就是第三种.
这种情况下,无论abc怎么选,ab中至少有一个是偶数,所以ab就是偶数了.

a^2+b^2=d^2-c^2
(a+b)^2-2ab=d^2-c^2
ab=[c^2-d^2+(a+b)^2]/2
ab为偶函数

偶
a^2+b^2=(a+b)^-2ab
所以(a+b)^2-2ab+c^2=d^2
所以ab=[(a+b)^2+c^2-d^2]/2
(-a)(-b)=[(-a-b)^2+c^2-d^2]/2=ab