不等式的证明题x,y,z>0 证明2(x^3+y^3+z^3)>=x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y)

bbrugl 1年前已收到2个回答举报

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x³+y³-x²y-xy²=（x-y）²（x+y）≥0
y³+z³-y²z-yz²=（y-z）²（y+z）≥0
x³+z³-x²z-xz²=（x-z）²（x+z）≥0
3个式子加起来就得到
2(x^3+y^3+z^3)>=x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y)

1年前

紫壁樵歌精英

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证明：∵（x-y)^2(x+y)≥0
∴(x-y)(x^2-y^2)≥0
∴x^3+y^3≥x^2y+xy^2
同理
x^3+z^3≥x^2z+xz^2
z^3+y^3≥z^2y+zy^2
xyz不都相等，所以上面三式不能同时取等号
∴x^3+y^3+x^3+z^3+z^3+y^3>x^2y+xy^2+x^2z+xz^2+z^2y+zy^2
∴2(x^3+y^3+z^3)>x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y)

1年前

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