（2012•湖北模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn（Sn≠0），且an+2SnSn−1＝0(n≥2，n∈N*)，a1

（2012•湖北模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn（Sn≠0），且an+2SnSn−1＝0(n≥2，n∈N*)，a1＝
1
2
．
（1）求证：{
1
Sn
}是等差数列；
（2）求an；
（3）若bn＝
2(1−n)
n+2
an(n≥2)，求b2+…+b10．
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冬天的期待 幼苗

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解题思路：（1）由an+2SnSn-1=0，n≥2，可得Sn-Sn-1+2SnSn-1=0，变形得
1
S
n
−
1
Sn−1
＝2，由此得出结论．
（2）由于当n≥2时，an=Sn-Sn-1，当n=1时，a1＝S1＝
1
2]，由此可得an ．
（3）当n≥2时，bn＝
2(1−n)
n+2
an＝
1
n(n+2)
=[1/2]（[1/n
−
1
n+2]），用裂项法求出b2+…+b10的值．

（1）∵an+2SnSn-1=0，n≥2，∴Sn-Sn-1+2SnSn-1=0，∴[1

S n−
1
Sn−1＝2．
∴{
1
Sn}是首项为
1
S1＝
1
a1＝2，公差等于2的等差数列．（4分）
∴
1
Sn＝2+(n−1)×2＝2n，∴Sn＝
1/2n]．
（2）当n≥2时，an＝Sn−Sn−1＝
1
2n−
1
2(n−1)＝−
1
2n(n−1)，
当n=1时，a1＝S1＝
1
2，∴

an＝


1
2n＝1
−
1
2n(n−1)n≥2．（8分）
（3）当n≥2时，bn＝
2(1−n)
n+2an＝
1
n(n+2)=[1/2]（[1/n−

点评：
本题考点： 数列的求和；等差关系的确定．

考点点评： 本题主要考查等差关系的确定，用裂项法进行数列求和，属于中档题．

1年前

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