已知a>0且a≠1,求使方程loga²(x²-a²)有解时k的取值范围

显然要使对数loga(x-ak)有意义 必有x-ak>0 即x>ak（I） 同时要使对数loga²(x²-a²)有意义 必有x²-a²>0 即x²>a² 考虑到a>0 则x<-a或x>a（II） 因loga(x-ak)=loga²(x-ak)² 则原方程等价于(x-ak)²=x²-a² 即2kx=a(k²+1) 显然k=0时方程无解 则k≠0 解得x=a(k²+1)/2k（III） 于是由（I）（II）（III）有 （1）a(k²+1)/2k>ak且a(k²+1)/2k<-a 即(1+k)(1-k)/2k>0且（k+1)²/2k<0 由（k+1)²/2k<0易知k<0 则1-k>0 由(1+k)(1-k)/2k>0易知1+k<0，即k<-1 （2）a(k²+1)/2k>ak且a(k²+1)/2k>a 即(1+k)(1-k)/2k>0且（k-1)²/2k>0 由（k-1)²/2k>0易知k>0 则1+k>0 由(1+k)(1-k)/2k>0易知1-k>0，即k<1 所以0