f（x）是定义在[-2π，2π]上的偶函数，当x∈[0，π]时，f（x）=2cosx，当x∈（π，2π]时，y=f（x）

解题思路：（1）由题意可得：当x∈（π，2π]时，y＝f(x)＝

4

π

x−2，再根据函数的奇偶性可得：f（-2π）=f（2π）与f(−

π

6

)＝f(

π

6

)，进而结合题中的条件可得答案．
（2）设x∈[-2π，-π），则-x∈（π，2π]，由题得：当x∈（π，2π]时，y＝f(x)＝

4

π

x−2，可得y＝f(−x)＝−

4

π

x−2，进而结合函数的奇偶性可得当x∈[−2π，−π)时，f(x)＝−

4

π

x−2；
同理可得：当x∈[-π，0]时，f（x）=2cosx，即可得到答案．

（1）因为当x∈（π，2π]时，y=f（x）的图象是斜率为[4/π]，在y轴上截距为-2的直线在相应区间上的部分，
所以当x∈（π，2π]时，y＝f(x)＝
4
πx−2，
又因为y=f（x）是偶函数
所以f(−2π)＝f(2π)＝
4
π•2π−2＝6．
又当x∈[0，π]时，f（x）=2cosx，
所以f(−
π
6)＝f(
π
6)＝2•cos
π
6＝
3．
（2）设x∈[-2π，-π），则-x∈（π，2π]，
因为当x∈（π，2π]时，y＝f(x)＝
4
πx−2，
所以y＝f(−x)＝−
4
πx−2，
又因为f（x）是定义在[-2π，2π]上的偶函数，
所以当x∈[−2π，−π)时，f(x)＝−
4
πx−2；
同理可得：当x∈[-π，0]时，f（x）=2cosx，
所以f(x)＝

−
4
πx−2，x∈[−2π，−π)
2cosx

x∈[−π，π]

4
πx−2

x∈(π，2π]
其图象在[-2π，2π]上的图象如图所示，
故函数的递增区间为[-π，0]，（π，2π]；递减区间为[-2π，-π），[0，π]

点评：
本题考点： 函数奇偶性的性质；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的单调性及单调区间；函数的图象．

考点点评： 解决此类问题的关键是熟练掌握函数的有关性质，如奇偶性、单调性、函数值、图象等性质，以及函数性质的综合应用与直线的点斜式方程，此题综合性较强属于中档题．