如图所示，在以O为圆心的两个同心圆中，小圆的半径为1，AB与小圆相切于点A，与大圆相交于点B，大圆的弦BC⊥AB于点B，
| 如图所示，在以O为圆心的两个同心圆中，小圆的半径为1，AB与小圆相切于点A，与大圆相交于点B，大圆的弦BC⊥AB于点B，过点C作大圆的切线CD交AB的延长线于点D，连接OC交小圆于点E，连接BE、BO。 |
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| （1）求证：△AOB∽△BDC； （2）设大圆的半径为x，CD的长为y： ①求y与x之间的函数关系式； ②当BE与小圆相切时，求x的值。 |
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（1）证明：如图，∵AB与小圆相切于点A，CD与大圆相交于点C，
∴∠OAB=∠OCD=90°，
∵BC⊥AB，
∴∠CBA=∠CBD=90°，
∵∠1+∠OBC=90°，∠2+∠OCB=90°，
又∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠1=∠2，
∴△AOB∽△BDC；
（2）①过点O作OF⊥BC于点F，则四边形OABF是矩形，
∴BF=OA=1，
由垂径定理，得BC=2BF=2，
在Rt△AOB中，OA=1，OB=x，
∴AB=
，
由（1）得△AOB∽△BDC，
∴
即
，
∴y=
（或y=
）；
②当BE与小圆相切时，OE⊥BE，
∵OE=1，OC=x，
∴EC=x-1，BE=AB=
，
在Rt△BCE中，EC 2 +BE 2 =BC 2 ，
即（x-1） 2 +（
） 2 =2 2 ，
解得：x 1 =2x 2 =-1（舍去），
∴当BE与小圆相切时，x=2。
∴∠OAB=∠OCD=90°，
∵BC⊥AB，
∴∠CBA=∠CBD=90°，
∵∠1+∠OBC=90°，∠2+∠OCB=90°，
又∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠1=∠2，
∴△AOB∽△BDC；
（2）①过点O作OF⊥BC于点F，则四边形OABF是矩形，
∴BF=OA=1，
由垂径定理，得BC=2BF=2，
在Rt△AOB中，OA=1，OB=x，
∴AB=
，由（1）得△AOB∽△BDC，
∴
即
，∴y=
（或y=
）；②当BE与小圆相切时，OE⊥BE，
∵OE=1，OC=x，
∴EC=x-1，BE=AB=
，在Rt△BCE中，EC 2 +BE 2 =BC 2 ，
即（x-1） 2 +（
） 2 =2 2 ，解得：x 1 =2x 2 =-1（舍去），
∴当BE与小圆相切时，x=2。
1年前
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