（2014•宜昌二模）如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BB1，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点．
（2014•宜昌二模）如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BB1，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点．（1）求证：B1C1⊥平面ABB1A1；
（2）在CC1上是否存在一点E，使得∠BA1E=45°，若存在，试确定E的位置，并求此时二面角A1-BD-E的大小．
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解题思路：（Ⅰ）由已知条件推导出A1B⊥AB1，A1B⊥B1C1，BB1⊥B1C1，由此能够证明B1C1 ⊥平面ABB1A 1 ．
（Ⅱ）设AB=BB1=a，CE=x，由余弦定理求出x=
a，从而得到DE⊥平面A1BD，进而得到平面A1BD⊥平面BDE，由此求出二面角A1-BD-E的大小为90°．
（Ⅱ）设AB=BB1=a，CE=x，由余弦定理求出x=
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（Ⅰ）证明：∵AB=BB 1 ，∴四边形ABB1A1为正方形，
∴A1B⊥AB1，（2分）
又∵AC1⊥平面A1BD，∴AC1⊥A1B，
∴A1B⊥面AB1C1，∴A1B⊥B1C1，（4分）
又在直棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥B1C1，
∴B1C1 ⊥平面ABB1A 1 ．（5分）
（Ⅱ）设AB=BB1=a，CE=x，
∵D为AC的中点，且AC1⊥A1D，∴A1B＝A1 C1＝
2a，
又∵B1C1⊥平面ABB1A1，∴B1C1⊥A1B1，
∴B1C1=a，BE=
a2+x2，A1E＝
2a2+(a−x)2=
3a2+x2−2ax，
在△A1BE中，由余弦定理得BE2=A1B2+A1E2-2A1B•A1Ecos45°，
即a2+x2＝2a2+3a2+x2−2ax−2
3a2+x2−2ax
点评：
本题考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．
考点点评： 本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意合理地化空间问题为平面问题．
1年前
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